1. Аксиома параллельных. Через данную точку можно провести не более одной прямой, параллельной данной.
2. Если две прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны между собой.
3. Две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны.
4. Если две параллельные прямые пересечь третьей, то образованные при этом внутренние накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны, односторонние углы в сумме составляют \(180^\circ.\)
5. Если при пересечении двух прямых третьей образуются равные внутренние накрест лежащие углы, то прямые параллельны.
6. Если при пересечении двух прямых третьей образуются равные соответственные углы, то прямые параллельны.
7. Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна \(180^\circ,\) то прямые параллельны.
Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую сторону угла, то на второй стороне угла отложатся также равные отрезки.
Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, высекают на них пропорциональные отрезки.
1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны (подобны) двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то треугольники равны (подобны).
2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны (подобны) стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то треугольники равны (подобны).
3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны (подобны) трём сторонам другого треугольника, то треугольники равны (подобны).
1. По двум катетам.
2. По катету и гипотенузе.
3. По гипотенузе и острому углу.
4. По катету и острому углу.
1. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
2. Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный.
3. В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённая к основанию, совпадают.
4. Если в треугольнике совпадает любая пара отрезков из тройки: медиана, биссектриса, высота — то он является равнобедренным.
1. Сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны.
2. Сумма звеньев ломаной больше отрезка, соединяющего начало первого звена с концом последнего.
3. Против бóльшего угла треугольника лежит бóльшая сторона.
4. Против бóльшей стороны треугольника лежит бóльший угол.
5. Гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета.
6. Если из одной точки проведены к прямой перпендикуляр и наклонные, то
2) бóльшей наклонной соответствует бóльшая проекция и наоборот
Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника.
Средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника и равна её половине.
1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении \(2 : 1,\) считая от вершины.
2. Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
3. Медиана делит треугольник на два равновеликих (равных по площади) треугольника.
4. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около треугольника.
Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.
Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
1. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
2. Если два треугольника имеют равные углы, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих эти углы.
Множество (совокупность элементов) называется занумерованным, если каждому элементу этого множества сопоставлено своё натуральное число (номер) от \(1\) до \(n.\) Для краткости занумерованные множества далее будут называться наборами.
Число перестановок. Отличающиеся друг от друга порядком наборы, составленные из всех элементов данного конечного множества, называются перестановками этого множества.
Число всех перестановок множества из \(n\) элементов обозначается \(P_n\) и определяется по формуле \(P_n = n!,\) где \(n!\,=\,1\,*\,2\,*\,3\,*\,. . .\,*\,n.\)
Число размещений. Упорядоченные наборы, состоящие из \(k\) различных элементов, выбранных из данных \(n\) элементов, называются размещениями из \(n\) элементов по \(k.\) Размещения могут отличаться друг от друга как элементами, так и порядком.
Число всех размещений из \(n\) элементов по \(k\) обозначается \(A_n^k\) и определяется по формуле $$A_n^k = {n! \over (n-k)!}$$
Число сочетаний. Неупорядоченные наборы, состоящие из \(k\) элементов, взятых из данных \(n\) элементов, называются сочетаниями из \(n\) элементов по \(k\). Сочетания отличаются друг от друга только элементами.
Число сочетаний из \(n\) элементов по \(k\) обозначается \(C_n^k\) и определяется по формуле $$C_n^k = {n! \over k!(n-k)!}$$
Одночленом называют выражение, которое содержит числа, натуральные степени переменных и их произведения.
Одночлен называется представленным в стандартном виде, если он записан в виде произведения числового множителя, стоящего на первом месте, и степеней различных переменных.
Числовой множитель у одночлена стандартного вида называется коэффициентом одночлена, сумму показателей степеней переменных называют степенью одночлена.
Многочленом называется алгебраическая сумма одночленов.
Если все одночлены в многочлене приведены к стандартному виду, то говорят, что это многочлен стандартного вида.
Для любых \(a, b\) и \(c\) верны следующие равенства:
1) \(\;a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\)
2) \(\;(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
3) \(\;(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
4) \(\;(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)
5) \(\;(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\)
6) \(\;a^3+b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\)
7) \(\;a^3-b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2\)
8) \(\;ax^2 + bx + c = a(x-x_1)(x-x_2),\;\) где \(\;x_1\) и \(x_2\;\) — корни квадратного уравнения \(\;ax^2 + bx + c = 0.\)